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Guía del tema
Álgebra y proporcionalidad
El álgebra es la parte de las matemáticas en la que hay un número escondido. En Primaria empieza como un hueco que hay que rellenar, 4 + □ = 10, y al final de la etapa ese hueco se convierte en una letra: n + 3 = 10. También consiste en descubrir reglas y series y, en el currículo actual, en seguir y crear instrucciones paso a paso: el pensamiento computacional. La proporcionalidad trata de cantidades que crecen o disminuyen a la vez y al mismo ritmo, como el precio cuando compras más barras de pan, una receta para más gente o un plano a escala.
El sentido algebraico es uno de los seis «sentidos» en que el currículo organiza las matemáticas, y está en los tres ciclos de Primaria. El razonamiento proporcional llega en el tercer ciclo (5.º y 6.º), aunque las ideas se trabajan desde mucho antes.
Qué se aprende en cada curso
El currículo estatal (el Real Decreto 157/2022) fija los contenidos por ciclos de dos cursos, y cada comunidad autónoma y cada colegio los reparte después curso a curso. Esta tabla combina el currículo estatal con la guía curso a curso de la Comunidad de Madrid, así que en tu colegio el reparto puede cambiar un poco.
| Curso | Qué se trabaja |
|---|---|
| Infantil 5 años | Copiar, continuar e inventar series (rojo, azul, rojo, azul…), que en clase llaman seriaciones. Dar y seguir instrucciones en orden, como guiar a un compañero por un camino. |
| 1.º de Primaria | Series de objetos y de números, y el elemento que falta. Los signos = y ≠ («distinto de»). Encontrar un número que falta, escrito con un símbolo: 4 + □ = 10. Seguir instrucciones sencillas. |
| 2.º de Primaria | Huecos en sumas y restas, usando la relación entre las dos: □ + 6 = 15. Series que suben y bajan de 10 en 10 o de 100 en 100. En comunidades como Madrid, también los signos > («mayor que») y < («menor que»). |
| 3.º de Primaria | Descubrir la regla de una serie y predecir los términos siguientes. Comparar con =, ≠, < y >. Huecos con las cuatro operaciones: □ × 4 = 32. Modificar algoritmos sencillos, por ejemplo con programación por bloques. |
| 4.º de Primaria | Series con números más grandes, por ejemplo de 1.000 en 1.000, y predecir términos más lejanos. Huecos en operaciones de dos pasos: 3 × □ + 2 = 20. |
| 5.º de Primaria | El número desconocido se escribe con una letra o un símbolo: n + 5 = 12. Situaciones proporcionales y no proporcionales; tablas de proporcionalidad con precios. En muchos colegios, los primeros porcentajes (el 25 % de 80 son 20). Algoritmos con bucles y condicionales. |
| 6.º de Primaria | Problemas de proporcionalidad con la reducción a la unidad y la regla de tres, porcentajes y escalas en planos y mapas. Números desconocidos representados con una letra. Fórmulas sencillas, como el área del rectángulo. |
Las ideas clave
1. El signo igual quiere decir «vale lo mismo que»
Muchos niños leen el = como «y el resultado es». Funciona con 3 + 5 = 8, pero se viene abajo con 8 = 3 + 5 o con 6 + □ = 4 + 5. Piensa en una balanza: los dos platillos tienen que pesar lo mismo. 4 + 5 son 9, así que 6 + □ también tiene que ser 9, y el número que falta es el 3. Su contrario es el signo ≠, «distinto de»: 3 + 4 ≠ 8.
2. Deshacer con la operación inversa
La suma y la resta son operaciones inversas: una deshace lo que hace la otra. Lo mismo pasa con la multiplicación y la división. Es la misma idea de «la prueba» de la resta o de la división, y la clave de casi todos los problemas con un hueco. Para □ − 9 = 7, pregunta: «¿a qué número le quito 9 y me quedan 7?», y vuelve a sumar el 9 que se había quitado: 7 + 9 = 16. Para □ × 4 = 32, divide: 32 : 4 = 8 (también lo verás escrito 32 ÷ 4). Después, comprueba poniendo el número en el hueco: 16 − 9 = 7 y 8 × 4 = 32.
3. Las series siguen una regla
Una serie es una lista de números, colores o figuras que sigue una regla. Los pequeños continúan series y cuentan de 2 en 2 o de 5 en 5; los mayores descubren la regla, la explican con palabras y predicen qué número vendrá más adelante. En 6.º, algunos dan un paso más y buscan una regla que lleve directamente a cualquier puesto: en 3, 7, 11, 15, 19, cada número es el cuádruple de su puesto menos 1 (el primero, 4 × 1 − 1 = 3; el segundo, 4 × 2 − 1 = 7), así que el número que ocupa el puesto 10 es 4 × 10 − 1 = 39.
4. Una letra ocupa el lugar de un número
En el tercer ciclo, el hueco se convierte en una letra. n + 5 = 12 significa «un número más 5 da 12», así que n = 7. Si 3 × a = 18, entonces a = 6. Algunas igualdades tienen más de una solución: en a + b = 10, a y b pueden ser 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7… ¡los amigos del 10 de toda la vida! En la ESO, a estas igualdades con letras las llamarán ecuaciones.
Una fórmula es una regla para calcular algo, escrita con palabras o con letras. El perímetro de un rectángulo es 2 × (base + altura), así que un rectángulo de 7 cm de base y 4 cm de altura tiene un perímetro de 2 × (7 + 4) = 22 cm. Su área es base × altura: 7 × 4 = 28 cm².
Lee el signo igual en voz alta como «vale lo mismo que» y, de vez en cuando, escribe las operaciones «al revés»: 10 = 4 + □. Los niños que siempre ven el resultado a la derecha se atascan la primera vez que cambia de sitio, y luego cuesta mucho quitarles esa costumbre.
5. Algoritmos: instrucciones paso a paso
El currículo incluye en el sentido algebraico el pensamiento computacional. Un algoritmo es una lista de pasos en orden que siempre lleva al resultado (por eso a las cuentas en vertical también se las llama algoritmos). En el primer ciclo los niños siguen instrucciones; en el segundo las modifican, y en el tercero las crean, con bucles («repite 4 veces») y condicionales («si llegas a la pared, gira»). «Repite 4 veces: avanza 3 pasos y gira a la derecha» dibuja un cuadrado. Tiene mucho de álgebra: encontrar el patrón, escribir la regla una vez y aplicarla muchas.
6. Proporcional o no proporcional
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando, si una se duplica, la otra también; si una se triplica, la otra también, y así siempre. Si un cuaderno cuesta 1,80 €, dos cuestan 3,60 € y cinco cuestan 9 €. En una tabla de proporcionalidad, para pasar de la fila de arriba a la de abajo se multiplica siempre por el mismo número: la constante de proporcionalidad (aquí, 1,80).
Saber distinguir las situaciones que no son proporcionales también forma parte del currículo. Una niña que mide 1,15 m a los 6 años no medirá 2,30 m a los 12. Y con una oferta de «3x2» en el súper (te llevas tres y pagas dos), tres paquetes de galletas no cuestan el triple que uno, sino el doble.
Para resolver problemas de proporcionalidad, en clase aprenden dos caminos. La reducción a la unidad pregunta primero cuánto vale uno: si 3 cuadernos cuestan 5,40 €, uno cuesta 5,40 : 3 = 1,80 €, y 5 cuadernos cuestan 1,80 × 5 = 9 €. La regla de tres coloca los datos en dos filas y llega a lo mismo en una sola operación:
3 cuadernos → 5,40 €
5 cuadernos → x
x = 5 × 5,40 : 3 = 27 : 3 = 9 €
La regla de tres es rápida, pero solo vale si la situación es proporcional. Los porcentajes también son proporcionalidad: el 20 % significa 20 de cada 100 (20 céntimos de cada euro), así que el 20 % de 15 € son 3 €.
7. Ampliar y reducir: recetas, razones y escalas
Para ampliar o reducir algo sin deformarlo, todo se multiplica (o se divide) por el mismo número. Aquí tienes una tortilla de patatas para 4 personas convertida en una para 6. Pasar primero por 2 personas (dividir entre 2 y después multiplicar por 3) deja los números redondos:
| Ingrediente | Para 4 personas | Para 2 personas (: 2) | Para 6 personas (× 3) |
|---|---|---|---|
| Patatas | 800 g | 400 g | 1.200 g |
| Huevos | 6 | 3 | 9 |
| Aceite de oliva | 200 ml | 100 ml | 300 ml |
Para comparar dos cantidades que van juntas, en 6.º algunos libros usan la palabra razón. Si una mezcla lleva 2 botes de pintura azul por cada 3 de amarilla, la razón entre la azul y la amarilla es ²⁄₃ (se lee «2 es a 3»). Con 4 botes de azul harán falta 6 de amarilla, y la igualdad entre las dos razones, ²⁄₃ = ⁴⁄₆ («2 es a 3 como 4 es a 6»), es una proporción.
Las escalas de los planos y los mapas funcionan igual. La escala 1:100 (se lee «uno a cien») significa que 1 cm en el plano son 100 cm, es decir, 1 m, en la realidad. En un mapa a escala 1:50.000, cada centímetro son 50.000 cm, o sea, 500 m, así que 6 cm en el mapa son 3 km.
Errores frecuentes
- Leer el = como «el resultado es»: en 4 + 5 = □ + 2, escribir 9 en el hueco en lugar de 7.
- Deshacer con la operación equivocada: en □ − 9 = 7, calcular 9 − 7 = 2 en lugar de 7 + 9 = 16.
- Pensar que una letra es una cosa («la m es de manzanas») y no un número.
- Confundir la razón con la fracción del total: con 2 botes de azul por cada 3 de amarilla, la razón es ²⁄₃, pero la pintura azul es ⅖ de la mezcla, no ⅔, porque de cada 5 botes, 2 son azules.
- Sumar en lugar de multiplicar al ampliar: pasar una receta de 4 a 6 personas añadiendo 2 de cada ingrediente.
- Aplicar la regla de tres a todo: si una camiseta tarda 2 horas en secarse al sol, tres camisetas tendidas a la vez no tardan 6 horas.
- Sacar la regla de una serie mirando solo los dos primeros números: hay que comprobar que se cumple en toda la serie.
Juegos de cinco minutos para casa
- Debajo del vaso. Pon 10 garbanzos en la mesa, esconde unos cuantos bajo un vaso y pregunta cuántos hay escondidos. «Veo 6, así que debajo hay 4.»
- Piensa un número. «Pienso un número, le sumo 5 y me da 12. ¿Qué número he pensado?» Después cambia los papeles y deja que tu hijo o hija invente los acertijos.
- La máquina de números. Tu hijo dice un número; tú, en secreto, lo multiplicas por 2, le sumas 1 y dices el resultado: el 3 da 7 y el 5 da 11. ¿Quién descubre antes la regla?
- El robot. Tu hijo programa y tú eres el robot: tiene que llevarte de la puerta al sofá solo con órdenes como «avanza 3 pasos» o «gira a la derecha». Si el robot choca, toca corregir el programa.
- El bizcocho de yogur. Todo se mide con el vasito del yogur: por cada vasito de aceite, 2 de azúcar y 3 de harina. Para un bizcocho el doble de grande, ¿cuántos vasitos de harina hacen falta? (6.)
El reto de IndieIndie construye una fila de celdillas de panal con palitos de polo. Las celdillas vecinas comparten un lado. Para 1 celdilla necesita 6 palitos, para 2 necesita 11 y para 3, 16. ¿Cuántos palitos necesita para una fila de 10 celdillas? Ver la respuesta
La primera celdilla necesita 6 palitos. Cada celdilla nueva comparte un lado con la anterior, así que solo necesita 5 más. Para 10 celdillas: 6 + 9 × 5 = 6 + 45 = 51 palitos. Como fórmula: palitos = 5 × celdillas + 1, y 5 × 10 + 1 = 51. Fíjate en que no es una situación proporcional: 2 celdillas no necesitan el doble de palitos que 1 (serían 12), sino 11.
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El número que falta4.º de Primaria, 5.º de Primaria, 6.º de Primaria · Descubre el número del recuadroDescargar PDFRespuestas rápidas
Las letras para los números desconocidos llegan en el tercer ciclo (5.º y 6.º de Primaria, de 10 a 12 años), pero el razonamiento empieza mucho antes: con las series en Infantil y con huecos como 4 + □ = 10 en 1.º.
Una forma de resolver problemas de proporcionalidad directa: con tres datos conocidos se calcula el cuarto. Si 3 cuadernos cuestan 5,40 €, 5 cuadernos cuestan 5 × 5,40 : 3 = 9 €. Se trabaja sobre todo en 6.º.
Si al doble de una cantidad le corresponde el doble de la otra, al triple el triple, y así siempre, es proporcional. El precio de varias barras de pan iguales lo es; la estatura y la edad de una persona, no.
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