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Para docentes
Razonamiento y resolución de problemas
En el currículo de la LOMLOE, las competencias específicas de Matemáticas se organizan en cinco ejes, y el primero es la resolución de problemas. Le siguen razonamiento y prueba, conexiones, comunicación y representación y destrezas socioafectivas (Real Decreto 157/2022, anexo II). Razonar es explicar, justificar y descubrir regularidades: «¿cómo lo sabes?». Resolver problemas es usar lo que ya sabes en una situación que no has visto antes.
Para trabajar el razonamiento no hace falta una sesión aparte: nace de las preguntas que haces cada día y de la costumbre de explicar en voz alta. Estas ideas sirven para cualquier tema y cualquier curso.
Preguntas que hacen pensar
Ten unas cuantas a mano, en una tarjeta o en la pared del aula, y úsalas hasta que salgan solas:
- ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?
- ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?
- ¿Cómo lo sabes? ¿Puedes demostrarlo?
- ¿Hay otra forma de hacerlo? ¿Cuál es más rápida?
- ¿Qué pasaría si…?
- Dame un ejemplo. Ahora, uno que no se le ocurra a nadie más.
- ¿Es verdad siempre, a veces o nunca?
- ¿Dónde está el error? ¿Tiene sentido el resultado?
Convénceme
Da a tus alumnos algo que ya saben y pídeles que te convenzan (a ti o a un compañero que hace de escéptico) de que es verdad. «Porque me lo sé» no vale: tienen que dar razones.
- 1.º de Primaria: convénceme de que 7 + 8 = 15. El doble de 7 es 14, y 8 es uno más que 7, así que el resultado es uno más que 14.
- 3.º de Primaria: convénceme de que 6 × 7 = 42. 5 × 7 = 35, y un 7 más son 42.
- 4.º de Primaria: convénceme de que ⅗ es mayor que ½. La mitad de 5 quintos son 2 quintos y medio, y 3 quintos es más que eso.
Un dibujo, unas regletas o una recta numérica también valen como demostración.
¿Verdadero o falso?
Escribe una afirmación en la pizarra; cada alumno decide si es verdadera o falsa y explica por qué. Mezcla unas y otras para que no adivinen por dónde vas.
| Curso | Afirmación | Respuesta |
|---|---|---|
| Infantil 5 años | Si pongo mis 5 cubos más separados, tengo más cubos. | Falso. Siguen siendo 5; solo ocupan más sitio. |
| 1.º | 7 + 3 = 3 + 7 | Verdadero. Los dos son 10: en la suma, el orden de los sumandos no cambia el resultado. |
| 2.º | 15 − 6 = 6 − 15 | Falso. En la resta el orden sí importa: 15 − 6 = 9, y 6 − 15 ni siquiera se puede hacer con los números que conocen en 2.º. |
| 3.º | Si sumas 10 a un número, la cifra de las unidades no cambia. | Verdadero. 46 + 10 = 56: solo cambia la cifra de las decenas. |
| 4.º | ¼ es mayor que ⅓, porque 4 es mayor que 3. | Falso. Si partes una tortilla en 4 trozos iguales, cada trozo es más pequeño que si la partes en 3. |
| 5.º | 0,65 es mayor que 0,7 porque tiene más cifras. | Falso. 0,7 son 7 décimas; 0,65 son solo 6 décimas y 5 centésimas. |
| 6.º | Al multiplicar, el resultado siempre es mayor que el número del que partes. | Falso. 5 × 1 = 5, 5 × 0 = 0 y 5 × 0,5 = 2,5. |
Encuentra el error
Enseña una operación resuelta con un error y pide que lo encuentren, lo expliquen y lo corrijan. Impone menos que corregir sus propios fallos, y te permite adelantarte a los errores que sabes que van a aparecer.
- 2.º y 3.º: 52 − 27 = 35. En las unidades ha hecho 7 − 2 en lugar de 12 − 7. Llevando: de 7 a 12 van 5 y me llevo una; 2 y una, 3; de 3 a 5 van 2. Resultado: 25 (desagrupando sale lo mismo). La prueba: 25 + 27 = 52.
- 3.º: 450 redondeado a la centena más próxima es 400. 450 está justo en medio de 400 y 500, y en ese caso se redondea a la centena superior: 500.
- 4.º: 824 : 4 = 26. Al bajar el 2, «2 entre 4 no cabe», y se le ha olvidado poner el 0 en el cociente antes de bajar el 4: es 206. La prueba lo delata: 4 × 26 = 104, pero 4 × 206 = 824.
- 5.º: ¼ + ¼ = ²⁄₈. Un cuarto más un cuarto son dos cuartos, ²⁄₄. El denominador no se suma: dice el tamaño de las partes.
Haz que el error sea de otra persona: «Esto lo ha escrito un alumno de otro cole». Los niños corrigen encantados el trabajo de un desconocido, y quienes habrían cometido el mismo fallo aprenden sin sentirse señalados.
Problemas abiertos
Los problemas con varias respuestas, o con una sola pero muchos caminos, permiten que todos empiecen, y quien va más rápido siempre tiene por dónde seguir.
- Cualquier curso: el resultado es 12. ¿Cuál podría ser la pregunta? En Infantil dirán 10 + 2; en 6.º, 3 × 4, 48 : 4 o el 25 % de 48.
- 1.º: ¿De cuántas formas puedes sacar 6 sumando los puntos de dos dados? 1 + 5, 2 + 4 y 3 + 3, o 5 formas si 5 + 1 y 4 + 2 cuentan como distintas. Discutir cuál es la buena ya es razonar.
- 3.º: en la papelería he pagado exactamente 21 €, solo con billetes de 5 € y monedas de 2 €. ¿Qué billetes y monedas he podido usar? Un billete de 5 € y ocho monedas de 2 €, o tres billetes y tres monedas. El número de billetes tiene que ser impar, porque 21 es impar y las monedas de 2 € siempre suman una cantidad par.
- 5.º y 6.º: un rectángulo tiene 20 cm de perímetro y sus lados miden un número exacto de centímetros. ¿Cuánto puede medir su área? El largo y el ancho suman 10 cm, así que el área puede ser 9, 16, 21, 24 o 25 cm². La mayor es la del cuadrado de 5 cm de lado, y eso abre otro buen debate: ¿un cuadrado es un rectángulo?
Datos, pregunta, operación y solución
En muchos colegios los problemas se presentan en el cuaderno con un esquema fijo: datos, pregunta, operación y solución. Obliga a leer despacio y a separar lo que sabemos de lo que nos piden antes de calcular. Un ejemplo de 3.º:
Hugo tiene 20 €. Compra 3 cuadernos que cuestan 4 € cada uno. ¿Cuánto dinero le sobra?
- Datos: tiene 20 €; compra 3 cuadernos; cada cuaderno cuesta 4 €.
- Pregunta: ¿cuánto dinero le sobra?
- Operaciones: 3 × 4 = 12 € (lo que se gasta); 20 − 12 = 8 € (lo que le sobra).
- Solución: a Hugo le sobran 8 €.
Pide siempre la frase de respuesta completa: «A Hugo le sobran 8 €», no «8». Escribirla les hace volver a la pregunta. Y añade un último paso: comprobar. Lo gastado más lo que sobra tiene que dar lo que había al principio: 12 + 8 = 20.
Ojo con fiarse de las palabras clave: «gastar» y «sobrar» suenan a resta, pero «Después de gastar 5 €, le sobran 3 €. ¿Cuánto tenía?» se resuelve sumando: 5 + 3 = 8 €. Mejor que cazar palabras sueltas es que cuenten el problema a su manera y lo dibujen. Y para convertirlo en costumbre, la guía del Plan de Rescate de las Matemáticas de la Comunidad de Madrid propone, por ejemplo, una «Liga Matemática» semanal de problemas.
El modelo de barras
El modelo de barras, que viene del método Singapur, dibuja el problema con rectángulos para ver qué sabemos y qué buscamos antes de elegir la operación. Los más pequeños empiezan con el esquema parte-todo: «En la clase de 2.º hay 23 alumnos y 14 se quedan al comedor. ¿Cuántos se van a comer a casa?». El todo es 23, una parte es 14, así que la otra parte es 23 − 14 = 9.
El modelo de barras también sirve para las fracciones. En 5.º o 6.º: «Martina se gasta ⅖ de sus ahorros y le quedan 18 €. ¿Cuánto tenía al principio?». Se dibuja una barra en 5 partes iguales y se marcan 2 como gastadas. Las 3 partes que quedan son 18 €, así que cada parte vale 6 € y tenía 5 × 6 = 30 €. Comprobación: ⅖ de 30 € son 12 €, y 30 − 12 = 18 €.
Frases para explicar cómo lo han pensado
Muchos alumnos saben la respuesta, pero no saben decir por qué. Unos comienzos de frase les dan las palabras: úsalos tú primero, tenlos a la vista y pide frases completas.
- Sé que…, así que…
- Primero…, después…, así que la solución es…
- No puede ser… porque…
- Estoy de acuerdo (o no estoy de acuerdo) con… porque…
- Esto es verdad siempre / a veces / nunca porque…
- Mi resultado tiene sentido porque se parece a mi estimación, que era…
Combínalos con el trabajo por parejas: primero se lo explican al compañero y después responden ante toda la clase. Así trabajas también el sentido socioafectivo: atreverse a hablar y escuchar a los demás.
Preguntas rápidas
Razonar es explicar y justificar: por qué algo es verdad o por qué funciona un método. Resolver problemas es aplicar las matemáticas a una situación nueva. Se solapan: para resolver bien un problema casi siempre hay que razonar.
No. Todos pueden razonar sobre las matemáticas que ya dominan. Usa números más pequeños o material manipulativo para que el cálculo no tape el pensamiento.
Con los criterios de evaluación de las competencias específicas, a lo largo del curso: lo que explican en voz alta, cómo presentan y comprueban los problemas. La evaluación de diagnóstico de 4.º valora la competencia matemática, no solo el cálculo, así que trabajar problemas en contexto también es la mejor preparación (no cuenta para las notas). Para las familias tienes las pruebas de mates, explicadas.
Encaja muy bien: el ABN anima a calcular de varias formas y a explicar el camino elegido. Todo lo de esta guía sirve con cualquier método.
Dales tiempo para pensar, deja que se lo cuenten primero a un compañero y ofréceles los comienzos de frase. Explicarlo a una persona impone mucho menos que hacerlo delante de toda la clase.
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